Ta lần lượt xét các trường hợp cụ thể sau:

Chu trình Carnot thuận nghịch

Ta có :   `eta_t=1+q_2/q_1=1-T_2/T_1`

Vậy :   `q_2/q_1=-T_2/T_1`

Hay :

`q_1/T_1+q_2/T_2=0`

(61)

Chu trình thuận nghịch bất kỳ

Ta chia chu trình này thành `r` chu trình nhỏ như trên Hình 12

Hình 12 Chu trình bất kỳ được chia thành `n` chu trình Carnot

Áp dụng công thức (61) cho các chu trình Carnot nhỏ, ta có:

    `(Delta q_1^((1))) / (T_1^((1))) + (Delta q_2^((1))) / (T_2^((1))) = 0`

    `(Delta q_1^((2))) / (T_1^((2))) + (Delta q_2^((2))) / (T_2^((2))) = 0`

    . . . .

    `(Delta q_1^((i))) / (T_1^((i))) + (Delta q_2^((i))) / (T_2^((i))) = 0`

    . . . .

    `(Delta q_1^((r))) / (T_1^((r))) + (Delta q_2^((r))) / (T_2^((r))) = 0`

Trong các công thức trên, `Delta q_1^((i))` và `Delta q_2^((i))` là lượng nhiệt trao đổi của chu trình Carnot nhỏ thứ `i` lần lượt có giá trị dương và giá trị âm, `T_1^((i))` và `T_2^((i))` lần lượt là nhiệt độ nguồn nóng và nguồn lạnh của chu trình Carnot nhỏ thứ `i`.

Cộng tất cả những công thức trên, ta được:

    `sum_(i=1)^r (Delta q_1^((i))) / (T_1^((i))) + sum_(i=1)^r (Delta q_2^((i))) / (T_2^((i))) = 0`

Hay tổng quát hơn :

`sum_(i=1)^r (Delta q)/T =0`

(62)

Khi số chu trình Carnot nhỏ `r` tăng đến giá trị vô cùng lớn thì công thức (62) trở thành:

`oint\ (dq)/T = 0`

(63)

Chu trình Carnot không thuận nghịch

Ta biếr rằng khi có cùng nguồn nóng và nguồn lạnh, hiệu suất nhiệt của chu trình Carnot không thuận nghịch bao giờ cũng bé hơn trường hợp thuận nghịch. Vì thế:

    `1+q_2/q_1<1-T_2/T_1`

Hay :

`q_1/T_1+q_2/T_2 < 0`

(64)

Chu trình không thuận nghịch bất kỳ

Ta cũng thực hiện tương tự như trường hợp chu trình thuận nghịch bất kỳ: chia chu trình thành nhiều chu trình Carnot nhỏ, áp dụng công thức (64) cho các chu trình nhỏ ấy, ... Ta có:

`oint\ (dq)/T<0`

(65)

Trường hợp tổng quát

Tổng hợp 4 trường hợp trên ta có:

`oint\ (dq)/T ≤ 0`

(66)

Công thức (66) chính là biểu thức giải tích của định luật 2 cho trường hợp tổng quát, trong đó dấu "=" dành cho trường hợp thuận nghịch. dấu "<" dành cho trường hợp không thuận nghịch.

 

Trong phần khảo sát cho chu trình thuận nghịch ở trên, ta đã thu được:

    `oint\ (dq)/T = 0`

Xét về mặt toán học, khi biểu thức dưới dấu tích phân cho một đường cong kín bằng không, thì biểu thức ấy là vi phân toàn phần đúng của một hàm. Trong trường hợp này ta ký hiệu hàm ấy là `s` và đặt tên là entropy:

`ds=(dq)/T `

(67)

Entropy là một thông số trạng thái, nghĩa là giá trị của s chỉ phụ thuộc trạng thái mà không phụ thuộc vào quá trình làm thay đổi trạng thái. Điều đó cho phép ta tính:

`int_1^2 ds=s_2-s_1`

(68)

Trong hệ đơn vị SI, đơn vị chuẩn của `s` là J•kg^-1•K^-1.

Ta còn có `S = Ms` . Thông số này có cộng tính và đơn vị là J/K.

 

Đây cũng là một đồ thị trạng thái có trục hoành biểu diễn entropy `s` và trục tung biểu diển nhiệt độ tuyệt đối `T` (Hình 13). Đồ thị này cũng có một số tính chất giống như đồ thị `p-v`, mỗi điểm trên đồ thị này biểu diễn một trạng thái cân bằng, một đường cong biểu diễn một quá trình. Nếu đường cong này kín, ta có một chu trình.

Hình 13 Đồ thị `T-s`

Ngoài ra, vì   `ds=(dq)/T`   nên :

`dq=Tds`(69)

`q=int_1^2 Tds`

(70)

Theo Hình 13 :   `q="dt"(122'1')`

Vậy lượng nhiệt trao đổi trong một chu trình được biểu diễn bằng phần diện tích nằm bên dưới đường cong biểu diễn chu trình ấy trong đồ thị `T-s`.